$|\phi_0\rangle$ 是什麼？

$|\phi_0\rangle$ 讀作「ket phi zero」，中文可以念成「右括號 phi 零」。

它代表一個量子狀態，也可以把它暫時理解成一個向量。

例如普通二維向量可以寫成：

$$
|\phi_0\rangle= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad |\phi_1\rangle= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}
$$

所以：

  • $|\phi_0\rangle$：第一個方向
  • $|\phi_1\rangle$：第二個方向

下標 0、1 只是用來區分兩個狀態，不是數值大小。

它們也可以代表：

  • 粒子的自旋向上與向下
  • 光子的水平與垂直偏振
  • 量子位的 0 與 1

就像電腦中的 bit 有 0 和 1，但量子狀態還可以是兩者的疊加。

它與線性代數中的列向量意思相同：

$$
|\phi_0\rangle \quad\longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
$$

這種右邊尖括號的形式叫作 ket。

把它反過來：

$\langle\phi_0|$

叫作 bra，可以暫時理解成橫向量：

$$
\langle\phi_0| \quad\longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}
$$

合在一起便是 內積。

$\langle\phi_0|\phi_1\rangle$

把剛才的向量代進去：

$$
\langle\phi_0|\phi_1\rangle = \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
$$

計算後得到：

$1\times0+0\times1=0$

所以：

$\boxed{\langle\phi_0|\phi_1\rangle=0}$

它表示：

$|\phi_0\rangle$ 和 $|\phi_1\rangle$ 是兩個互相垂直、完全不同的狀態。

就像平面上的 (x) 軸和 (y) 軸互相垂直：

$$
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =0
$$

在量子力學中，我們稱它們「正交」。

延申説明 $|\phi\rangle$ 表示一個狀態向量。

$\langle\phi_i|\phi_j\rangle$

用來比較兩個狀態有多重疊：

  • 等於 (1)：完全相同
  • 等於 (0)：完全正交
  • 介於兩者之間：部分重疊

所以：

$\langle\phi_0|\phi_1\rangle=0$

直白地說就是：

狀態 0 和狀態 1 沒有重疊，是兩個可以完全區分的狀態。

疊加（Superposition）

在量子力學中，如果 $\vert{}\phi_0\rangle$ 和 $\vert{}\phi_1\rangle$ 是兩個合法的量子狀態（基底），那麼把它們乘以任何複數係數（權重）並相加，得到的新向量 $\vert{}\psi\rangle$ 也必定是一個合法的量子狀態。

  • 數學表達式：$\vert{}\psi\rangle = \alpha \vert{}\phi_0\rangle + \beta \vert{}\phi_1\rangle$
  • 這裡的 $\alpha$ 和 $\beta$ 就是兩個狀態的機率振幅（Probability Amplitude）。

而為了滿足量子力學的「歸一化（Normalization）」條件，也就是總機率必須等於 1（100%）。

根據波恩定則（Born's Rule），我們測量該量子態時：

  • 發現它處於 $\vert{}\phi_0\rangle$ 的機率為係數的平方：$\vert{}\alpha\vert{}^2$
  • 發現它處於 $\vert{}\phi_1\rangle$ 的機率為係數的平方：$\vert{}\beta\vert{}^2$

在這個範例中調配出一個「機率各佔一半（50% 與 50%）」的完美對稱疊加態：

  • $\vert{}\phi_0\rangle$ 的機率要佔 $50\% = \frac{1}{2}$ 所以 $\alpha^2 = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
  • $\vert{}\phi_1\rangle$ 的機率要佔 $50\% = \frac{1}{2}$ 所以 $\beta^2 = \frac{1}{2} \rightarrow \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

將這兩個係數帶回，就得到下面公式：

$$
|\psi \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}|\phi _{0}\rangle +\frac{1}{\sqrt{2}}|\phi _{1}\rangle
$$

疊加不等於混合

設定兩個互相正交的基態：

$|\phi_0\rangle,\qquad |\phi_1\rangle$

也就是：

$\langle\phi_0|\phi_1\rangle=0$

我們比較兩種情況。

疊加純態：

$$
|\psi\rangle=\frac1{\sqrt2} \left(|\phi_0\rangle+|\phi_1\rangle\right)
$$

古典混合：

  • 一半機率是 $|\phi_0\rangle$

  • 一半機率是 $|\phi_1\rangle$

現在設測量算符：

$A=[\psi]=|\psi\rangle\langle\psi|$

用途很簡單：

詢問「目前的狀態是不是 $|\psi\rangle$？」

若狀態正是 $|\psi\rangle$，結果一定是 1；若只有部分重疊，期望值就是重疊程度的平方。

疊加

每個基底狀態都有自己的振幅

一般寫成：

$$ |\psi\rangle = a_0|\phi_0\rangle+a_1|\phi_1\rangle $$

其中：

  • $a_0$ 是 $|\phi_0\rangle$ 的振幅
  • $a_1$ 是 $|\phi_1\rangle$ 的振幅

其實有兩個振幅。只是例子中剛好$a_0$=$a_1$：

$a_0=a_1=\frac1{\sqrt2}$

兩個振幅相同，可以把共同的 $\frac1{\sqrt2}$ 提到括號外：

$$
|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} \left(|\phi_0\rangle+|\phi_1\rangle\right)
$$

這看起來只有一個係數，但它實際上同時乘在兩個狀態上。

但實際情況也可能是：

$$ |\psi\rangle = \frac{\sqrt3}{2}|\phi_0\rangle + \frac12|\phi_1\rangle $$

此時兩個振幅不同，就不能合併成一個共同係數。

混合

不是把振幅分開，而是根本沒有共同的振幅關係

混合可以寫成：

$$
M= \begin{cases} |\phi_0\rangle & \text{機率 }1/2\\ |\phi_1\rangle & \text{機率 }1/2 \end{cases}
$$

意思是每一次系統實際上就是其中一個：

  • 這次是 $|\phi_0\rangle$
  • 或者這次是 $|\phi_1\rangle$

只是我們事前不知道是哪個。

這裡的 (1/2) 是機率，不是振幅。

而其中關鍵差異在於

疊加：

$a_0|\phi_0\rangle+a_1|\phi_1\rangle$

兩個振幅存在於同一個狀態向量裡，因此保留相對相位，可以產生干涉。

混合：

$P_0\text{ 機率為 }|\phi_0\rangle,\qquad P_1\text{ 機率為 }|\phi_1\rangle$

每次只有其中一個狀態，只有古典機率，兩者之間沒有共同的相位，所以不能干涉。

疊加時，$|\phi_0\rangle$ 和 $|\phi_1\rangle$ 帶著各自的振幅，共同組成同一個狀態向量；混合時，系統每次只是其中一個狀態，我們只用機率描述不知道是哪一個，因此兩者不能作為同一個量子態相加並產生干涉。

$\boxed{\text{疊加用振幅相加；混合用機率加權。}}$

無標籤

關注作者：

新增評論