Shannon 熵（標準定義）

$$
H(X) \;=\; -\sum_i P_i \log P_i \;\ge\; 0
$$

• $H$ 代表的是 Entropy 不確定性 / 亂度；分布越平均，$H$ 越大（越不確定）；分布越尖（越確定），$H$ 越小。
• 均勻分布（n 個等機率）達最大 $H = \log n$；確定事件 $H = 0$。

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過度均勻才是真異常，這個看似微妙的論點正是本章節要説明的重點

1936 年，統計學之父 Fisher 質疑遺傳學之父 Mendel 的豌豆實驗造假。
證據不是數據「太不規律」，而是「太完美」。
這個方法後來也用在彩票造

圖裡有 4 個子檢驗：

• [A] Dispersion Index：觀測方差 / 理論方差，比值 < 1 就是過度均勻
• [B] Monte Carlo Chi² 百分位：實際 chi² 比多少比例的純隨機更小？百分位 > 95% 就是強烈過度均勻
• [C] 分段一致性：把資料切 10 段，看段間波動。波動太小 = 各時段過度一致
• [D] 滑動視窗 Chi²：用 50 期的窗口逐期掃，看 chi² 序列的時間變化

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先問個問題，彩球從 38 個號碼中抽 6 個，理論上每組會出現「連號對」（兩個相鄰的數字）的機率是多少，平均每期會出現幾對連號？0.5？1？2？

很多人會猜「應該很少，大概 0.2 對左右」。理由很直觀：38 個選 6 個，平均每個號碼之間應該隔 38/6 ≈ 6 格，連號感覺很稀有。

但這個直覺是錯的。連號其實非常常見，平均每期會出現超過 0.8 對。

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彩球有 38 個號碼，每期開 6 顆球。任何一個號碼平均 6/38 ≈ 15.8% 的機率出現。換算過來——

平均每 6.33 期，每個號碼會出現一次。

這個「6.33」也叫做「期望間距」。然而實際每個號碼的間距會落在哪裡？透過圖形可以看到

圖裡藍色長條是「實際間距分布」，紅線是「幾何分布的理論曲線」。

• 最高峰落在「間距 = 1」（也就是下一期就再出現）
• 隨著間距增加，比例呈指數下降
• 右偏的指數衰減，這是幾何分布的特徵。

理論告訴你最常見的間距是 1 期（下一期就再出現），不是 6 期。

直覺以為「平均 6.33 期」表示「大多落在 6 附近」是錯的——平均值會被少數的長間距（20、30 期）拉高，但中位數和眾數都遠小於平均值。

公式

幾何分布 PMF：

$$P(X = k) = p \cdot (1 - p)^{k - 1}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$$

期望間距：

$$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{38}{6} \approx 6.33$$

Kolmogorov-Smirnov 檢定（用來檢驗實際間距是否符合幾何分布）：

$$D = \sup_x \left| F_n(x) - F(x) \right|$$

K-S 檢定的判定跟 Chi² 類似：p-value > 0.05 表示「實際間距和理論幾何分布沒有顯著差異」。

最終的執行結果

(py3.10) G:\Dev\Program\Lottery>python blog\02-gap-distribution.py 

========== 彩球 間距分析 ==========
主號碼範圍      : 1-38
理論期望間距    : 6.3333 （= main_max / main_count = 38/6）
實際平均間距    : 6.3128
間距樣本數      : 11308

K-S 檢定（vs 幾何分布 p=0.1579）
  D 統計量      = 0.1579
  p-value       = 0.000000
  判定          : 拒絕「符合幾何分布」假設

========== 樂彩 間距分析 ==========
主號碼範圍      : 1-49
理論期望間距    : 8.1667 （= main_max / main_count = 49/6）
實際平均間距    : 8.1297
間距樣本數      : 12641

K-S 檢定（vs 幾何分布 p=0.1224）
  D 統計量      = 0.1224
  p-value       = 0.000000
  判定          : 拒絕「符合幾何分布」假設

結論

一句話結論：號碼間距服從幾何分布——最常見的間距是 1 期，不是 6 期。長間距是長尾事件，本來就會偶爾出現。

這并不能拿來預測「冷號該回補」，這是賭徒謬誤的核心。幾何分布有一個關鍵特性叫無記憶性：

$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$

意思是「已經等了 $s$ 期不出現，再等 $t$ 期才出現的機率，跟一開始等 $t$ 期出現的機率一樣」。

一個號碼已經 30 期沒出現，下一期出現的機率還是 6/38 ≈ 15.8%。
歷史不會「累積債務」，未來不會「強制償還」。

幾何分布是少數有「無記憶性」的分布之一（另一個是連續版的指數分布）。這個性質正是「每期獨立」的數學保證。

分析間距的用途：

• 檢驗隨機性：如果實際分布大幅偏離幾何分布，就代表「每期獨立」假設被破壞了，需要進一步調查
• 建立直覺：理解為什麼「6 期沒出現」不算稀奇（理論預測有約 36% 的間距 ≥ 6 期）
• 設計推薦策略的對照組：任何「冷號回補」策略的回測，理論基準就是這條幾何曲線

01 · 彩票的隨機數真的隨機嗎？讓我們用 Chi² 來查詢分析資料

彩票開到現在，將近 1900 期、總共開出 11400 顆主號碼球。如果機器是公平的，理論上 1-38 號每個號碼應該出現約 300 次 左右。

如果某個號碼出現了 335 次（比期望多 35 次），這算正常的隨機波動，還是機器有問題？

憑直覺很難判斷。30 次差距聽起來不少，但攤在 1900 期裡又似乎還好。

這正是 Chi² 適合度檢定 要解決的問題：它把「直覺判斷」變成「可量化的 p-value」。

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