彩球號碼間距為何服從幾何分布？用 K-S 檢定驗證隨機性
彩球有 38 個號碼，每期開 6 顆球。任何一個號碼平均 6/38 ≈ 15.8% 的機率出現。換算過來——
平均每 6.33 期，每個號碼會出現一次。
這個「6.33」也叫做「期望間距」。然而實際每個號碼的間距會落在哪裡？透過圖形可以看到
圖裡藍色長條是「實際間距分布」，紅線是「幾何分布的理論曲線」。
- 最高峰落在「間距 = 1」（也就是下一期就再出現）
- 隨著間距增加，比例呈指數下降
- 右偏的指數衰減，這是幾何分布的特徵。
理論告訴你最常見的間距是 1 期（下一期就再出現），不是 6 期。
直覺以為「平均 6.33 期」表示「大多落在 6 附近」是錯的——平均值會被少數的長間距（20、30 期）拉高，但中位數和眾數都遠小於平均值。
公式
幾何分布 PMF：
$$P(X = k) = p \cdot (1 - p)^{k - 1}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$$
期望間距：
$$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{38}{6} \approx 6.33$$
Kolmogorov-Smirnov 檢定（用來檢驗實際間距是否符合幾何分布）：
$$D = \sup_x \left| F_n(x) - F(x) \right|$$
| 符號 | 意思 |
|---|---|
| $p$ | 每期出現機率（= 6/38） |
| $X$ | 兩次出現之間的間距（期數） |
| $F_n(x)$ | 實際數據的經驗 CDF |
| $F(x)$ | 幾何分布的理論 CDF |
| $D$ | 兩個 CDF 的最大差距 |
K-S 檢定的判定跟 Chi² 類似：p-value > 0.05 表示「實際間距和理論幾何分布沒有顯著差異」。
最終的執行結果
(py3.10) G:\Dev\Program\Lottery>python blog\02-gap-distribution.py
========== 彩球 間距分析 ==========
主號碼範圍 : 1-38
理論期望間距 : 6.3333 （= main_max / main_count = 38/6）
實際平均間距 : 6.3128
間距樣本數 : 11308
K-S 檢定（vs 幾何分布 p=0.1579）
D 統計量 = 0.1579
p-value = 0.000000
判定 : 拒絕「符合幾何分布」假設
========== 樂彩 間距分析 ==========
主號碼範圍 : 1-49
理論期望間距 : 8.1667 （= main_max / main_count = 49/6）
實際平均間距 : 8.1297
間距樣本數 : 12641
K-S 檢定（vs 幾何分布 p=0.1224）
D 統計量 = 0.1224
p-value = 0.000000
判定 : 拒絕「符合幾何分布」假設
結論
一句話結論：號碼間距服從幾何分布——最常見的間距是 1 期，不是 6 期。長間距是長尾事件，本來就會偶爾出現。
這并不能拿來預測「冷號該回補」，這是賭徒謬誤的核心。幾何分布有一個關鍵特性叫無記憶性：
$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$
意思是「已經等了 $s$ 期不出現，再等 $t$ 期才出現的機率，跟一開始等 $t$ 期出現的機率一樣」。
一個號碼已經 30 期沒出現，下一期出現的機率還是 6/38 ≈ 15.8%。
歷史不會「累積債務」，未來不會「強制償還」。
幾何分布是少數有「無記憶性」的分布之一（另一個是連續版的指數分布）。這個性質正是「每期獨立」的數學保證。
分析間距的用途：
- 檢驗隨機性：如果實際分布大幅偏離幾何分布，就代表「每期獨立」假設被破壞了，需要進一步調查
- 建立直覺：理解為什麼「6 期沒出現」不算稀奇（理論預測有約 36% 的間距 ≥ 6 期）
- 設計推薦策略的對照組：任何「冷號回補」策略的回測，理論基準就是這條幾何曲線
