張量積與量子糾纏入門:從聯合狀態到 Everett 相對狀態詮釋
接下來來學習 張量積 · 相對狀態
$$
\boxed{\text{張量積}\rightarrow\text{可分解／糾纏}\rightarrow\text{相對狀態}}
$$
先只學「張量積」，不立刻塞進相對狀態公式。
為什麼需要張量積？
前面研究的是一個系統：
$$
|\psi\rangle = a_0|\phi_0\rangle+a_1|\phi_1\rangle
$$
現在我們同時研究兩個系統：
- 系統 (S_1)：例如一顆粒子
- 系統 (S_2)：例如測量儀器或觀測者
假設兩者都有兩種狀態：
$$
S_1:\quad |\xi_0\rangle,\ |\xi_1\rangle
$$
$$
S_2:\quad |\eta_0\rangle,\ |\eta_1\rangle
$$
這裡：
- $\xi$ 只是 $S_1$ 狀態的名稱
- $\eta$ 只是 $S_2$ 狀態的名稱
- 下標 $0,1$ 用來區分狀態
它們和先前的 $\phi_0,\phi_1$ 一樣，都是狀態向量。
$\otimes$ 表示「兩個系統的聯合狀態」
假設：
- $S_1$ 處於 $|\xi_0\rangle$
- $S_2$ 處於 $|\eta_1\rangle$
整體情況寫成：
$$
|\xi_0\rangle\otimes|\eta_1\rangle
$$
讀作：
$\xi_0$ 張量積 $\eta_1$。
目前可以直接把它理解為：
$$
\boxed{\xi_0\otimes\eta_1
=\text{\(S_1\) 是 \(\xi_0\)，並且 \(S_2\) 是 \(\eta_1\)}}
$$
教材有時為了簡潔，會省略 (\otimes)：
$$
|\xi_0\rangle|\eta_1\rangle
$$
甚至寫成：
$$
\xi_0\eta_1
$$
三種寫法在這裡表達的是同一件事。
張量積不是普通加法
這兩個式子的意思完全不同。
加法：
$$
|\xi_0\rangle+|\xi_1\rangle
$$
表示同一個系統 (S_1) 的兩個狀態形成疊加。
張量積：
$$
|\xi_0\rangle\otimes|\eta_1\rangle
$$
表示兩個不同系統的聯合狀態。
所以可以先記成：
$$
\boxed{
+\;=\text{同一系統的狀態疊加}
}
$$
$$
\boxed{
\otimes\;=\text{把不同系統組合起來}
}
$$
兩個二狀態系統有四種聯合基底
因為 (S_1) 有兩種可能：
$$
\xi_0,\xi_1
$$
而 (S_2) 也有兩種可能：
$$
\eta_0,\eta_1
$$
把它們兩兩配對，共有四種：
$$
|\xi_0\rangle\otimes|\eta_0\rangle
$$
$$
|\xi_0\rangle\otimes|\eta_1\rangle
$$
$$
|\xi_1\rangle\otimes|\eta_0\rangle
$$
$$
|\xi_1\rangle\otimes|\eta_1\rangle
$$
這和兩個 classical bit 的組合很像：
$$
00,\quad01,\quad10,\quad11
$$
差別在於，量子聯合狀態還可以把這四種情況疊加：
$$
|\Psi\rangle
a_{00}|\xi_0\eta0\rangle
+a{01}|\xi_0\eta1\rangle
+a{10}|\xi_1\eta0\rangle
+a{11}|\xi_1\eta_1\rangle
$$
也就是：
$$
|\Psi\rangle
\sum{i,j}a{ij}|\xi_i\rangle\otimes|\eta_j\rangle
$$
其中 $a_{ij}$ 是每個聯合狀態的振幅。例如：
$$
a_{01}
$$
就是聯合狀態
$$
|\xi_0\rangle\otimes|\eta_1\rangle
$$
前面的振幅。
「可分解」的情況
考慮：
$$
|\Psi_a\rangle
\frac1{\sqrt2}
\left(
|\xi_0\eta_0\rangle+
|\xi_1\eta_0\rangle
\right)
$$
兩項都有共同的 $|\eta_0\rangle$，因此可以提出來：
$$
|\Psi_a\rangle
\frac1{\sqrt2}
\left(
|\xi_0\rangle+|\xi_1\rangle
\right)
\otimes|\eta_0\rangle
$$
這表示：
- $S_1$ 處於 $\xi_0$ 與 $\xi_1$ 的疊加
- $S_2$ 明確處於 $\eta_0$
兩個系統各自的狀態都能清楚寫出，因此稱為「可分解態」或「乘積態」。
六、「糾纏」的情況
考慮：
$$
|\Psi_b\rangle
\frac1{\sqrt2}
\left(
|\xi_0\eta_0\rangle+
|\xi_1\eta_1\rangle
\right)
$$
第一項是：
$$
S_1=\xi_0,\quad S_2=\eta_0
$$
第二項是：
$$
S_1=\xi_1,\quad S_2=\eta_1
$$
現在無法單獨提出共同的 $\xi$ 或 $\eta$，也無法寫成：
$$
(\text{\(S_1\) 的一個狀態})
\otimes
(\text{\(S_2\) 的一個狀態})
$$
這就是糾纏。
它表達的不是：
$S_1$ 自己有一個確定純態，$S_2$ 自己也有另一個確定純態。
而是：
只有兩個系統之間的對應關係是確定的。
這個對應關係是：
$$
\xi_0\leftrightarrow\eta_0
$$
$$
\xi_1\leftrightarrow\eta_1
$$
相對狀態的直覺已經出現了
對糾纏態：
$$
|\Psi_b\rangle
\frac1{\sqrt2}
\left(
|\xi_0\eta_0\rangle+
|\xi_1\eta_1\rangle
\right)
$$
不要單獨問：
$S_1$ 到底是 $\xi_0$ 還是 $\xi_1$？
應該改問：
當 $S_2=\eta_0$ 時，$S_1$ 與它配對的是什麼？
答案是：
$$
\xi_0
$$
因此：
$$
\boxed{
S_1\text{ 相對於 }S_2=\eta_0\text{ 的狀態是 }\xi_0
}
$$
同樣：
$$
\boxed{
S_1\text{ 相對於 }S_2=\eta_1\text{ 的狀態是 }\xi_1
}
$$
這就是「相對狀態」最核心的意思。公式只是負責從很長的疊加式中，把相應的配對項挑出來。
現在先做一道不涉及計算的理解題。看到：
$$
|\Psi\rangle
\frac1{\sqrt2}
\left(
|\xi_0\eta_0\rangle+
|\xi_1\eta_1\rangle
\right)
$$
那麽：
- 相對於 $S_2=\eta_0$，$S_1$ 是什麼狀態？
- 相對於 $S_2=\eta_1$，$S_1$ 是什麼狀態？