糾纏＝關聯不是互補：X 低熵不代表 Y 高熵，兼談 Everett 多世界的「知識＝量子關聯」

X 低熵，是否代表(糾纏的)Y 高熵？

不會，而且方向可能跟你想的相反。原因如下：

一、經典資訊論的糾纏＝關聯（相關性/互信息）

對兩個隨機變數 X、Y，關係式是：

$H(X,Y) = H(X) + H(Y) - I(X;Y)$

其中 I(X;Y) 是互信息，代表 X、Y 共享了多少不確定性。如果 X、Y「完全糾纏」，也就是知道其中一個就能完全推出另一個(例如 Y=f(X))，那麼：

$H(Y|X) = 0 \quad\Rightarrow\quad I(X;Y) = H(Y)$

這代表 X 和 Y 的熵是綁在一起、傾向相等或成比例的，而不是一個低一個就會被推向高。如果 X 本身熵很低(幾乎確定)，而且 Y 完全由 X 決定，那 Y 的熵也會很低，不會變高。

二、量子版本（如果你想連結 Everett 的相對態公式）

在量子資訊裡，「糾纏」對應的量是馮紐曼熵(von Neumann entropy)。對一個處於純態的雙體系統 |ψ⟩_AB，有一個很重要的定理：

$S(\rho_A) = S(\rho_B)$

也就是說，只要整體是純態，兩個子系統的糾纏熵必然相等，不是誰低誰就必然高。這正是 Everett 1957 年論文中 "relative state" 架構的數學基礎——透過 Schmidt 分解，觀察者的態與被觀察系統的態是「相對」定義的，兩者的不確定性是同步、不是互斥的。

結論

「X 低熵 ⇒ Y 高熵」這個直覺，比較接近==互補性(complementarity)==的概念(像位置與動量那種此消彼長的關係)，但那不是熵之間的關係，而是不同可觀測量之間的測不準關係。==糾纏(entanglement/關聯)本身描述的其實是「兩者的不確定性有多同步」==，而不是「此消彼長」——如果一定要挑一個直覺替代，比較準確的說法是：

X 與 Y 糾纏程度越高，知道 X 之後，Y 剩下的不確定性(條件熵 H(Y|X))就越低。

Everett 的信息論語言

Everett 在論文裡不說「糾纏」，他說的是：

「觀察者與系統之間建立了關聯（correlation）」

用互信息來表達：

$I(A;B) = H(A) + H(B) - H(A,B)$

糾纏前： A、B 獨立，$I(A;B) = 0$

糾纏後： A、B 強關聯，$I(A;B) > 0$

但量子糾纏有一個古典互信息無法捕捉的部分——非定域關聯，超過任何古典概率分佈能解釋的範圍。

這就是為什麼需要 von Neumann 熵：

$S(\rho) = -\text{Tr}(\rho \log \rho)$

對複合系統 AB，如果整體是純態（$S(\rho_{AB}) = 0$ ），但子系統 A 的約化密度矩陣：

$\rho_A = \text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)$

的 von Neumann 熵 $S(\rho_A) > 0$ ，那麼糾纏量就等於這個熵：

$E = S(\rho_A) = S(\rho_B)$

Everett 的核心主張

觀察者測量系統 = 觀察者與系統建立量子關聯 = 互信息增加

不需要塌縮。測量後的狀態是：

$|\Psi\rangle = \sum_i \alpha_i |a_i\rangle_{\text{observer}} \otimes |s_i\rangle_{\text{system}}$

觀察者的每個「記憶狀態」$|a_i\rangle$ 對應系統的一個結果 $|s_i\rangle$。
這個對應關係——就是 Everett 定義的「知識」。

知識 = 觀察者與系統之間的量子關聯結構。