這章節將計算「關聯有多少」，以及解釋「整體純、局部混合」的概念

看最簡單的Bell態：

$$
|\Phi^+\rangle
=\frac{|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B}{\sqrt2}
$$

從整體看，$AB$ 由一個態向量描述，所以是純態。

但是只看$A$時，不能說$A$就是：
$$
|0\rangle,\qquad |1\rangle
$$
也不能說它是：
$$
\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2}
$$
因為最後這個疊加態具有相位，可以產生單體干涉；Bell態中的$A$單獨並沒有這種干涉。
只看$A$的正確描述是約化密度矩陣：
$$
\rho_A
=\frac12|0\rangle\langle0|
+\frac12|1\rangle\langle1|
=\frac I2
$$

約化密度矩陣（Reduced Density Matrix, 簡稱 RDM）是量子力學中用來描述複合量子系統中某一個子系統統計性質的數學工具。當一個大系統由兩個或多個子系統（例如系統 (A) 與環境 (B)）組成時，若我們只關心其中一部分，就可以透過對另一部分求部分跡（Partial Trace）來得到該子系統的約化密度矩陣。

它表示：忽略$B$的資訊後，$A$的局部測量統計像50/50混合。關聯沒有消失而是保留在聯合態中：

• 可能出現$00$
• 可能出現$11$
• 不會出現$01$
• 不會出現$10$

C4的結論如下：

$$
\boxed{\text{整體可以是純態，子系統卻可以是混合態。}}
$$

「無法確定$A$其實是哪個狀態」，而是$A$的一部分量子資訊存在於它與$B$的關聯裡，不能由$A$單獨攜帶。

Bell態為：
$$
|\Phi^+\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2}
$$
單獨測量$A$時：

• 得到0的權重是$1/2$

• 得到1的權重是$1/2$
  接著用同一基底測量$B$，結果必與$A$相同：
  $$
  A=0\Rightarrow B=0,\qquad A=1\Rightarrow B=1
  $$
  現在正式計算約化密度矩陣。完整密度矩陣是：
  $$
  \rho_{AB}=|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+|
  $$
  展開得到：
  $$
  \rho_{AB}
  =\frac12\Big(
  |00\rangle\langle00|
  +|00\rangle\langle11|
  +|11\rangle\langle00|
  +|11\rangle\langle11|
  \Big)
  $$
  若只看$A$，便對$B$取偏跡：
  $$
  \rho_A=\operatorname{Tr}_B(\rho_{AB})
  $$
  規則是：
  $$
  \operatorname{Tr}_B
  \left(
  |a\rangle_A|b\rangle_B
  \langle a'|_A\langle b'|_B
  \right)

  \langle b'|b\rangle
  |a\rangle\langle a'|
  $$
  白話說，就是把$B$的ket與bra做內積，只留下$A$。
  對角項留下：
  $$
  \operatorname{Tr}_B(|00\rangle\langle00|)
  =|0\rangle\langle0|
  $$
  $$
  \operatorname{Tr}_B(|11\rangle\langle11|)
  =|1\rangle\langle1|
  $$
  交叉項則消失：
  $$
  \operatorname{Tr}_B(|00\rangle\langle11|)

  \langle1|0\rangle|0\rangle\langle1|
  =0
  $$
  因為：
  $$
  \langle1|0\rangle=0
  $$
  所以：
  $$
  \boxed{
  \rhoA
  =\frac12|0\rangle\langle0|
  +\frac12|1\rangle\langle1|
  =\frac I2
  }
  $$
  注意：交叉項不是從完整總態中被物理刪除；它只是無法出現在只測量$A$的局部統計中。完整$\rho{AB}$仍保留交叉項。

這裏解釋下爲什麽交叉項變成0，是因爲$B$子系統的正交內積：

$$
\langle1_B|0_B\rangle=0
$$

因此：
$$
\operatorname{Tr}_B(|00\rangle\langle11|)
=\langle1_B|0_B\rangle|0_A\rangle\langle1_A|
=0
$$
但要注意：交叉項沒有從完整的$\rho_{AB}$中消失，只是不會貢獻給$A$的約化態。
接著計算糾纏熵。von Neumann熵定義為：
$$
S(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log_2\rho)
$$
知道$\rho$的本徵值$\lambda_k$後，可以寫成：
$$
S(\rho)=-\sum_k\lambda_k\log_2\lambda_k
$$
Bell態的約化密度矩陣是：
$$
\rho_A=\frac I2

\begin{pmatrix}
1/2&0\
0&1/2
\end{pmatrix}
$$
本徵值為$1/2,1/2$，因此：
$$
S(\rho_A)
=-\left(
\frac12\log_2\frac12+
\frac12\log_2\frac12
\right)
=1\text{ bit}
$$
同理：
$$
S(\rhoB)=1\text{ bit}
$$
但完整Bell態是純態，所以：
$$
S(\rho{AB})=0
$$
因此：
$$
\boxed{
S(\rho_{AB})=0,\qquad
S(\rho_A)=S(\rho_B)=1
}
$$
整體資訊完整，但單獨看任何一邊都呈現最大不確定性。缺少的資訊並未消失，而是存在於$A$與$B$的關聯中。