量子疊加不等於混合：從狀態向量、投影算符到干涉項
假設取算符 $A=[\psi]$（投影到 $\psi$ 本身）
試問
- 算 $\langle A\rangle_\psi$（純態）。
- 算 $\mathrm{Exp}_M[A]=\tfrac12\langle A\rangle_{\phi_0}+\tfrac12\langle A\rangle_{\phi_1}$（混合）。
- 兩者差多少？差的那部分對應 lecture 的哪個名詞？
這其實是在做一個「辨認測試」
用同一個測量 (A)，檢查「疊加純態」和「50/50 混合」是不是同一回事。
雖然兩者測量 $\phi_0/\phi_1$ 時都是各 50%，但它們仍是不同的物理狀態。
$A=[\psi]$
這是 Everett 使用的投影算符記號。現代通常寫成：
$$
A=|\psi\rangle\langle\psi|
$$
它的功能可以理解成一個「是不是 $\psi$ 」的檢測器：
- 輸入狀態正是 $|\psi\rangle$：得到 (1)
- 輸入狀態與 $|\psi\rangle$ 完全正交：得到 (0)
- 只有部分重疊：得到介於 $0$ 和 $1$ 之間的結果
所以 $A 問的是：
$$
\boxed{\text{這個系統有多符合狀態 }|\psi\rangle\text{？}}
$$
而不是問「測量後是 $\phi_0$ 還是 $\phi_1$」。
第一種是疊加純態：
$|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} \left(|\phi_0\rangle+|\phi_1\rangle\right)$
第二種是混合：
$M= \begin{cases} |\phi_0\rangle & 50\%\\ |\phi_1\rangle & 50\% \end{cases}$
然後分別把它們交給同一臺「是不是 $\psi$」檢測器。
第 1 題在問什麼？
$\langle A\rangle_\psi$
下標 $\psi$ 表示：
當輸入狀態就是純態 $|\psi\rangle$ 時，測量 $A$ 的期望值是多少？
因為 $A$ 就是專門投影到 $\psi$ 的檢測器，而輸入也恰好是 $\psi$，所以它在問：
把 $\psi$ 放進「是不是 $\psi$」的檢測器，符合程度是多少？
答案自然是：
$\langle A\rangle_\psi=1$
就像拿本人照片去做人臉辨識，符合度是 (100\%)。
第 2 題在問什麼？
原式應該是：
$\mathrm{Exp}_M[A] = \frac12\langle A\rangle_{\phi_0} + \frac12\langle A\rangle_{\phi_1}$
其中：
- $\mathrm{Exp}_M[A]$：混合 $M$ 對測量 $A$ 的平均結果
- $\langle A\rangle_{\phi_0}$：輸入是 $\phi_0$ 時，與 $\psi$ 的符合程度
- $\langle A\rangle_{\phi_1}$：輸入是 $\phi_1$ 時，與 $\psi$ 的符合程度
- 前面的 $1/2$：兩種輸入各出現一半
由於：
$|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} \left(|\phi_0\rangle+|\phi_1\rangle\right)$
所以 $\phi_0$ 與 $\psi$ 的重疊振幅是：
$\langle\psi|\phi_0\rangle=\frac1{\sqrt2}$
但測量結果要取絕對值平方：
$\langle A\rangle_{\phi_0} = |\langle\psi|\phi_0\rangle|^2 = \left|\frac1{\sqrt2}\right|^2 = \frac12$
同樣地：
$\langle A\rangle_{\phi_1}=\frac12$
因此混合的平均結果是：
$\mathrm{Exp}_M[A] = \frac12\times\frac12 + \frac12\times\frac12 = \frac12$
要注意這裡有兩種 $1/2$：
- 外面的 $1/2$：混合中該狀態出現的機率
- 裡面的 $1/2$：該狀態通過「是不是 $\psi$」測試的機率
第 3 題在問什麼？
比較兩個結果：
$\text{疊加純態}=1$
$\text{50/50 混合}=\frac12$
兩者相差：
$1-\frac12=\frac12$
差出來的這一部分，在 lecture 裡叫：
$\boxed{\text{干涉項}}$
整題想證明的是：
$\boxed{\text{疊加} \neq \text{混合}}$
因為疊加中的 $\phi_0$ 和 $\phi_1$ 同處於一個狀態向量，保留了彼此的相位關係，所以會多出干涉貢獻；混合只是在兩種已分開的情況之間做機率平均，沒有這個貢獻。
最白話地說：
純態 (\psi) 是完整的一個「斜向量」；混合則是有時送入橫向量、有時送入直向量。即使兩者在原本基底上都呈現 50/50，換一個方向檢測，就能把它們區分出來。