三門問題的資訊熵解法：用 Shannon 熵計算 Monty Hall 換門的資訊增益，兼談與 Everett 多世界的類比

三門問題的資訊熵解釋

核心思路

三門問題（Monty Hall）的關鍵在於：主持人的動作不是隨機的，而是攜帶訊息的。用資訊熵來看，整個過程是一次「熵減少」的過程──你獲得了訊息，不確定性就下降了。

初始熵

三扇門，獎品等機率藏在其中一扇後面：

$$
H_0 = -\sum_{i=1}^{3} \frac{1}{3}\log_2\frac{1}{3} = \log_2 3 \approx 1.58 \ bits
$$

當主持人揭示門後的熵

重點在於主持人知道獎品在哪，且他的選擇受約束（不能開你選的門，不能開有獎品的門）。所以他打開的門本身包含了訊息。

• 若你原選的門（假設 A）剛好是獎品門（機率 1/3），主持人在 B、C 中隨機開一扇，各 1/2。
• 若獎品在 B（機率 1/3），主持人被迫開 C。
• 若獎品在 C（機率 1/3），主持人被迫開 B。

主持人開門這個"訊號"傳遞了條件機率資訊。用貝葉斯更新後：

$$
P(\text{獎品在B} \mid \text{主持人開C}) = \frac{2}{3}, \quad P(\text{獎品在A} \mid \text{主持人開C}) = \frac{1}{3}
$$

不確定性從 3 選 1（$\log_2 3 bits$）坍縮到 2 選 1、但機率不均（2/3 vs 1/3）：

$$
H_1 = -\frac{1}{3}\log_2\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\log_2\frac{2}{3} \approx 0.918 \ bits
$$

熵減少量： $H_0 - H_1 \approx 1.58 - 0.918 = 0.667 bits$ ——這正是主持人（那一步互動作的資訊）。

回到問題核心，為什麼"換門"是理性的

在資訊理論視角下，主持人開門不是噪聲，是一次非對稱的信息注入：他必須遵守規則（不能打開獎品門、不能開你選的門），這個約束讓他的"選擇"本身洩露了獎品位置的線索。換門利用了這個訊息，不換則等於把這份訊息白白丟棄，等價於仍停留在原始的 $\frac{1}{3}$ 機率上。

然而與 Everett 多世界進行類比對照時

這個類比有意思但要小心區分層次：

• 三門問題是經典貝葉斯推斷——熵的下降來自"觀測者獲得了新資訊"，本體上獎品位置從一開始就是確定的，只是你不知道。
• Everett 的多世界詮釋中，量子態的"熵"（如馮諾依曼熵）在退相干後增加，是因為系統與環境糾纏，不同分支彼此退相干、變得"經典化"。這裡沒有一個先驗確定的結果被"揭示"——按 MWI，所有分支都實際發生了，你只是發現自己處於某一支。

一個常見的對比點是：三門問題的熵下降屬於認知熵（Shannon 熵，反映主觀資訊狀態的更新）；而量子退相干中的熵增屬於糾纏熵/馮諾依曼熵（von Neumann 熵），反映的是分支之間關聯性的物理增長，兩者數學形式相似但物理內涵不同——這也是很多人在類比量子貝葉斯分支時容易混淆的地方分支時容易混淆的地方。